ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Решение логарифмических неравенств

  1. log5(3x-1) <1.
    Так как 1 =log55 и основание 5 >0, то
    log5(3x-1) 55
    3x-1 >0, 3x-1 <5;
    x >1/3, x <2.
    Ответ: 1/3 < x < 2.

  2. log0,5(2x+1) -1.
    log0,5(2x+1) log0,5(0,5)-1;
    log0,5(2x+1) log0,52.
    Так как основание 0 < 0,5 < 1, то
    log0,5(2x+1) log0,52 равносильно
    2x+1 >0, 2x+1 2;
    x >-1/2, x1/2;
    Ответ: -1/2 < x 1/2.

  3. log3((x-4)/(3x-1)) >0.
    log3((x-4)/(3x-1)) >log31 получим:
    ((x-4)/(3x-1)) >0, ((x-4)/(3x-1)) >1.
    Ткак как первое из неравенств является следствием второго, то достаточно решить только второе неравенство.
    ((x-4)/(3x-1))-1 >0;
    ((x-4-3x+1)/(3x-1)) >0;
    ((2x+3)/(3x-1)) <0.
    Применим метод интервалов, получим: -3/2 < x < 1/3.
    Ответ: -3/2 < x < 1/3.

  4. log0,2(3x+4) >log0,2(x2+6).
    Данное неравенство равносильно системе:
    3x+4 >0, x2+6 >0, 3x+4 2+6.
    Так как неравенство x2+6 >0 выполняется для любого x R, то имеем систему
    x >-4/3, x2-3x+2 >0.
    Неравенство x2-3x+2 >0 решим методом интервалов:
    x1 =1; x2 =2.
    -4/3 < x < 1; x >2.
    Ответ: -4/3 < x < 1; x >2.

  5. log32x+log3 2.
    Пусть log3х =у, тогда для нахождения у получим неравенство y2+y-2 0. Решим это неравенство методом интервалов. Получим:
    y1 =-2; y2 =1.
    y -2; y 1.
    log3x -2;
    log3x log3(1/9);
    0 < x 1/9.
    log3x 1;
    log3x log33;
    x 3.
    Ответ: 0 < x 1/9; x 3.

н а з а дfg о г л а в л е н и еfg в п е р е д
Hosted by uCoz