О понятии степени с рациональным показателем

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

Л. Эйлер

Из практики решения всех более сложных алгебраических задач и опрерирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство a⁰ =1 (для a 0) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый аль-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его труде "Алгоритм пропорций". Вместо нашего знака 2^1/2 он писал ^1/22'. Орем словесно формулирует правила действия со степенями, например (в современной записи):

(aⁿ)^1/m =a^n/m,

a^1/n *b^1/n =(ab)^1/n

Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в "Полной арифметике" (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени n из числа a можно считать как степень a с дробным показателем

1/n (a >0).

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:

(ab)ⁿ =aⁿ *bⁿ,

(a/b)ⁿ =aⁿ/bⁿ,

(a^m)ⁿ =a^mn,

a^m* aⁿ =a^m+n,

a^m/aⁿ =a^m-n.

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным покалателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятия числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого - при введении понятия умножения на дробь и т. п.