СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
О понятии степени с рациональным показателем Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Из практики решения всех более сложных алгебраических задач и опрерирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. Равенство a0 =1 (для a (an)1/m =an/m, a1/n *b1/n =(ab)1/n Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в "Полной арифметике" (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени n из числа a можно считать как степень a с дробным показателем 1/n (a >0). О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход. Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно: (ab)n =an *bn, (a/b)n =an/bn, (am)n =amn, am* an =am+n, am/an =am-n. Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным покалателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятия числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого - при введении понятия умножения на дробь и т. п. |