О происхождении показательной функции.
Расширение понятия степенной функции y =aⁿ, где n - иррациональное и вообще любое действительное число, позволяет рассматривать показательную функцию вида

y =a^x,

где a >0, x - любое действительное число.

Еще в 1679 г. Лейбниц в одном из своих писем к голландскому физику и математику Христиану Гюйгенсу рассматривал уравнения вида x^x+z^z =c, x^x-x =24 и т. п.

Примерно в то же время аналогичными уравнениями занимался Иоганн Бернулли. Ученик последнего, Л. Эйлер, посвятил "показательным и логарфмическим количествам" две главы "Введение в анализ" и другие труды. "Показательные количества, - писал Эйлер, - разнообразны, смотря по тому, будет ли переменным количеством один только показатель или, кроме того, еще и само возвышаемое количество; к первому роду относится а^z, ко второму у^z, даже и сам показатель может быть показательным количеством. Мы не будем останавливаться на дальнейшем подразделении этих количеств, так как природа их может быть понятна достаточно ясно, если мы разберем только первый вид а^z"

Одним из замечательных достижений Эйлера было установление связи между показательной и трмгонометрическими функциями.

Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Известно, например, что при распадаении радиоактивного вещества его масса m уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз. Если обозначить через t₀ (период полураспада) промежуток времени, необходимый для того, чтобы от первоначальной массы вещества m₀ осталось половина ее.

Другим примером может служить размножение живых организмом - явление, при описании которого прибегают к показательной функции.