Развитие идеи логарифмов до Бюрги.
Изложив некоторые свойства показательной функции, Эйлер писал: "Как по любому значению z может быть найдено значение y, соответствующее данному числу а, так и, обратно, можно найти значение переменного z, соответствующее любому заданному положительному значению переменного y так, чтобы a^z =y. Это значение переменного y, поскольку z рассматривается как функция y, обычно называется логарифмом переменного y. Итак, учение о логарифмах предполагает, что вместо а подставлено определенное постоянное число, которое поэтому носит название основания логарифмов: когда оно принято, то логарифмом любого числа y будет показатель степени a^z, такой, что сама степень a^z будет равна числу y; логарифм числа y обычно обозначается через ly. Итак, если

a^z =y, то z =ly;

отсюда понятно, что хотя основание логарифмов и зависит от нашего выбора, однако оно должно быть числом большим, чем единица; отсюда, можно получить в виде действительных чисел логарифмы положительных чисел".

Читая Эйлера, нам кажется, что имеем дело с обычным учебником наших дней. Ведь перед нами тот же способ введения понятия логарифма, то же определение логарифмической функции как обратной показательной функции, тот же термин "основание логарифмов". Все это нововведения самого Эйлера и идут именно от него.

Изобретение логарифмов в начале XVII в. тесно связано с развитием в XVI в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавщих усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны были быть результаты действий. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий III ступени (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям II ступени (умножению и делению), а последних - к самым простым, к действиям I ступени (сложению и вычитанию).

Таким образом, уже в середине XVI в. были разработаны основы учения о логарифмах. Не хватало, однако, полезных, конкретных методов для широкого практического применения этих основ в вычислительной математике, не хватало основанных на осознанной идее логарифмических таблиц. В конце XVI в. Симон Стевин опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, необходимость вычисления которых была вызвана ростом торгово-финансовых оперций. Как известно, формула сложных процентов такова:

A =a(1+(p/100))^t

где a - первоначальный капитал, А - наращенный капитал после t лет при P%. Таблица Стевина содержала значения выражений (1+(p/100))^t, при этом (p/100) =r Стевин уже выражал в десятичных дробях: 0,04; 0,05; ..., которые он впервые в Европе открыл.

Сам Стевин, как это ни странно, не заметил того, что его таблицами можно пользоваться для упрощения соответствующих вычислений. Это увидел, однако, один из его современников - Бюрги